A. 線性代數已知矩陣A，矩陣p逆Ap等於一矩陣，求P
首先det(sE-A)=(s-1)(s-2)(s-5)可以求出a，
齊次，利用
(sE-A)x =0求出對特徵值s的特徵向量Xs, s=1,2,5
然後P=(X1,X2,X5)
B. 求一可逆矩陣P，使P-1AP=B
設a和b的相似對角型為s
有可逆矩陣m，n使得（以下用單引號表示求逆!）
am=msbn
=ns
用a表示b，則能看出用m，n表示的p。
例如：
A=
-1 -2 2
0 1 0
0 0 z
所以A的特徵值為1,-1,z
而A與B相似，故特徵值相同:1,1,y
所以有z=1,y=-1
所以A的特徵值為 1,1,-1
(A-E)x=0 的基礎解系為 a1=(1,-1,0)^T,a2=(1,0,1)^T
(A-E)x=0 的基礎解系為a3=(1,0,0)^T
令P=(a1,a2,a3),則P可逆，且P^-1AP=diag(1,1,-1)
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矩陣A為n階方陣，若存在n階矩陣B，使得矩陣A、B的乘積為單位陣，則稱A為可逆陣，B為A的逆矩陣。若方陣的逆陣存在，則稱為可逆矩陣或非奇異矩陣，且其逆矩陣唯一。
矩陣分解是將一個矩陣分解為比較簡單的或具有某種特性的若干矩陣的和或乘積，矩陣的分解法一般有三角分解、譜分解、奇異值分解、滿秩分解等。
C. △ABC是等邊三角形,P為△ABC內部一點,將△ABP繞點A逆時針旋轉後,能與△ACP′ 重合,如果AP=3,求PP′ 的長
解：連接PP'
因為△ABP繞點A逆時針旋轉後能與△ACP'重合
所以AP'＝AP，∠CAP'＝∠BAP
所以∠CAP'＋∠PAC＝∠BAP＋∠PAC
所以∠PAP'＝∠BAC
因為三角形ABC是等邊三角形
所以∠BAC＝60度
所以∠PAP'＝60度
所以△APP'是等邊三角形
所以PP'＝AP＝3
江蘇吳雲超祝你學習進步
D. 為什麼P逆AP的特徵向量是P逆a
P是n階可逆矩陣 ，已知n維列向量β是屬於特徵值λ的特徵限量，則矩陣(P^( -1) AP)倒置的屬於特徵值λ的特徵向量是設矩陣(P^( -1) AP=B。
它顯示一個矩陣是可對角化的，當且僅當它是一個正規矩陣。注意這包括自共軛（厄爾米特）的情況。這很有用，因為對角化矩陣T的函數f(T)（譬如波萊爾函數f）的概念是清楚的。在採用更一般的矩陣的函數的時候譜定理的作用就更明顯了。
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它的駐波——即那些通過空氣的傳播讓人們聽到弓弦和吉他的撥動聲的振動。駐波對應於弦的特定振動，它們使得弦的形狀隨著時間變化而伸縮一個因子（特徵值）。
和弦相關的該向量的每個分量乘上了一個依賴於時間的因子。駐波的振幅（特徵值）在考慮到阻尼的情況下逐漸減小。因此可以將每個特徵向量對應於一個壽命，並將特徵向量的概念和共振的概念聯系起來。